7277. Косинус угла между скрещивающимися прямыми AB
и CD
равен \frac{\sqrt{35}}{10}
. Точки E
и F
являются серединами отрезков AB
и CD
соответственно, а прямая EF
перпендикулярна прямым AB
и CD
. Найдите угол ACB
, если известно, что AB=2\sqrt{5}
, CD=2\sqrt{7}
, EF=\sqrt{13}
.
Ответ. \arccos\frac{5}{8}
.
Указание. Достройте тетраэдр ABCD
до параллелепипеда, проведя через противоположные рёбра пары параллельных плоскостей.
Решение. Достроим данный тетраэдр ABCD
до параллелепипеда AKBLNDMC
(AN\parallel KD\parallel BM\parallel LC
), проведя через его противоположные рёбра пары параллельных плоскостей. Тогда KL\parallel DC
и MN\parallel AB
, поэтому отрезок EF
, соединяющий центры граней AKBL
и NDMC
, перпендикулярен плоскостям оснований AKBL
и NDMC
, а так как прямая EF
параллельна боковым рёбрам параллелепипеда, то этот параллелепипед — прямой.
Пусть угол BEL
— острый. Тогда по теореме косинусов из треугольников BEL
и AEL
находим, что
BL^{2}=BE^{2}+LE^{2}-2BE\cdot LE\cos\angle BEL=5+7-2\cdot\sqrt{5}\cdot\sqrt{7}\cdot\frac{\sqrt{35}}{10}=5,
AL^{2}=AE^{2}+LE^{2}+2AE\cdot LE\cos\angle BEL=5+7+2\cdot\sqrt{5}\cdot\sqrt{7}\cdot\frac{\sqrt{35}}{10}=19.
По теореме Пифагора из прямоугольных треугольников BLC
и ALC
находим, что
BC^{2}=BL^{2}+CL^{2}=5+13=18,~AC^{2}=AL^{2}+CL^{2}=19+13=32.
Наконец, по теореме косинусов
\cos\angle ACB=\frac{AC^{2}+BC^{2}-AB^{2}}{2AC\cdot BC}=\frac{32+18-20}{2\cdot4\sqrt{2}\cdot3\sqrt{2}}=\frac{5}{8}.