7285. Ребро правильного тетраэдра равно a
. Через вершину тетраэдра проведено сечение, являющееся треугольником. Докажите, что периметр P
сечения удовлетворяет неравенствам 2a\lt P\leqslant3a
.
Указание. Рассмотрите развёртку данного тетраэдра на плоскость одной из его граней.
Решение. Пусть плоскость проведена через вершину D
тетраэдра ABCD
и точки M
и N
, лежащие на рёбрах AB
и BC
соответственно (рис. 1). Рассмотрим грань ABD
. Предположим, что точка M
не совпадает ни с одним из концов отрезка AB
. Тогда один из треугольников AMD
и BMD
— тупоугольный или прямоугольный. Пусть это треугольник AMD
. Тогда в нём сторона AD
лежит против наибольшего угла. Значит, DM\lt AD=a
. Аналогично докажем, что DN\lt a
, если точка N
отлична от точек B
и C
.
Рассмотрим треугольник ABC
. Отрезок MN
разбивает треугольник BMC
на треугольники BMN
и CMN
, один из которых тупоугольный или прямоугольный. Значит, MN\lt BM\lt a
или MN\lt MC\lt a
. Следовательно, P\leqslant3a
(равенство имеет место, если точки M
и N
различны и совпадают с вершинами треугольника ABC
).
Рассмотрим развёртку D_{1}D_{2}D_{3}
(рис. 2) тетраэдра ABCD
на плоскость треугольника ABC
(точки A
, B
и C
— середины отрезков D_{1}D_{2}
, D_{2}D_{3}
и D_{1}D_{3}
соответственно). Тогда
P=DM+MN+DN=D_{2}M+MN+D_{3}N\gt D_{2}B+D_{3}B=DB+DB=2a.