7286. В треугольной пирамиде ABCD
суммы трёх плоских углов при каждой из вершин B
и C
равны 180^{\circ}
и AD=BC
. Найдите объём пирамиды, если площадь грани BCD
равна 100, а расстояние от центра описанного шара до плоскости основания ABC
равно 3.
Ответ. 400.
Решение. Рассмотрим развёртку D_{1}AD_{2}BD_{3}C
тетраэдра ABCD
на плоскость треугольника ABC
, причём точки D_{1}
, D_{2}
и D_{3}
— вершины треугольников с основаниями AC
, AB
и BC
соответственно (рис. 2). Поскольку суммы трёх плоских углов при каждой из вершин B
и C
тетраэдра ABCD
равны 180^{\circ}
, точка C
лежит на отрезке D_{1}D_{3}
, а точка B
— на отрезке D_{2}D_{3}
, причём C
и D
— середины этих отрезков. Поэтому BC
— средняя линия треугольника D_{1}D_{2}D_{3}
. Значит, D_{1}D_{2}=2BC
, а так как AD=BC
, то AD_{1}=AD_{2}=BC
, поэтому AD_{1}+AD_{2}=D_{1}D_{2}
. Это означает, что точка A
лежит на отрезке D_{1}D_{2}
, причём A
— середина этого отрезка. Таким образом, AC
, AB
и BC
— средние линии треугольника D_{1}D_{2}D_{3}
. Следовательно,
BD=BD_{2}=AC,~CD=CD_{1}=AB,
т. е. противолежащие рёбра тетраэдра ABCD
попарно равны. Значит, все грани тетраэдра — равные треугольники (по трём сторонам) (рис. 3).
Докажем, что расстояния от центра описанного шара этого тетраэдра до всех его граней равны между собой.
Пусть O
— центр шара радиуса R
, описанного около данного тетраэдра. Перпендикуляры, опущенные из точки O
на грани тетраэдра, проходят через центры описанных окружностей этих граней (рис. 1). Поскольку все грани — равные треугольники, радиусы их описанных окружностей равны. Обозначим их через R_{1}
. Тогда расстояния от точки O
до плоскостей граней равны \sqrt{R^{2}-R_{1}^{2}}=r
. Значит, точка O
удалена от всех граней тетраэдра на одно и то же расстояние r
.
Соединив точку O
со всеми вершинами тетраэдра, разобьём его на четыре тетраэдра, основания которых — грани исходного тетраэдра, а высоты, опущенные на основания равны r
. Объём исходного тетраэдра равен сумме объёмов четырёх тетраэдров нашего разбиения.
Поскольку полная поверхность S
тетраэдра ABCD
равна 4\cdot100=400
, а расстояния от точки O
до граней тетраэдра равны r
, то
V_{ABCD}=\frac{1}{3}S\cdot r=\frac{1}{3}\cdot400\cdot3=400.
Источник: Вступительный экзамен на факультет вычислительной математики и кибернетики (ВМК) МГУ. — 1974 вариант 1, № 5
Источник: Александров Б. И., Лурье М. В. Пособие по математике для поступающих в МГУ. — М.: Изд-во МГУ, 1977. — с. 240