7291. Из точки A
, расположенной вне плоскости, проведены к ней две взаимно перпендикулярные наклонные AB
и AC
, образующие с плоскостью углы 15^{\circ}
и 75^{\circ}
. Найдите углы при вершинах B
и C
треугольника ABC
.
Ответ. 75^{\circ}
, 15^{\circ}
.
Решение. Пусть H
— ортогональная проекция точки A
на данную плоскость, \angle ABH=15^{\circ}
, \angle ACH=75^{\circ}
. Из прямоугольных треугольников ABH
и ACH
находим, что AB=\frac{AH}{\sin15^{\circ}}
и AC=\frac{AH}{\sin75^{\circ}}
. Значит,
\tg\angle ABC=\frac{AC}{AB}=\frac{\frac{AH}{\sin75^{\circ}}}{\frac{AH}{\sin15^{\circ}}}=\frac{\sin15^{\circ}}{\sin75^{\circ}}=\frac{\sin15^{\circ}}{\cos15^{\circ}}=\tg15^{\circ}.
Следовательно, \angle ABC=15^{\circ}
, а \angle ACB=90^{\circ}-15^{\circ}=75^{\circ}
.