7293. В правильную четырёхугольную пирамиду вписан куб, четыре вершины которого лежат на боковых рёбрах пирамиды, а остальные четыре — в плоскости её основания. Докажите, что V_{1}\leqslant\frac{4}{9}V
, где V_{1}
— объём куба, V
— объём пирамиды.
При каком условии имеет место равенство?
Ответ. Высота пирамиды вдвое больше стороны основания.
Решение. Пусть вершины K
, L
, M
, N
куба KLMNK_{1}L_{1}M_{1}N_{1}
с ребром x
лежат на боковых рёбрах соответственно SA
, SB
, SC
, SD
правильной четырёхугольной пирамиды SABCD
со стороной a
и высотой h
.
Рассмотрим сечение пирамиды и куба плоскостью ASC
. Из подобия треугольников SKM
и SAC
получаем, что \frac{h}{h-x}=\frac{a\sqrt{2}}{x\sqrt{2}}
, откуда находим, что x=\frac{ah}{a+h}
. Обозначим \frac{a}{h}=t
. Тогда
V_{1}\leqslant\frac{4}{9}V~\Leftrightarrow~\left(\frac{ah}{a+h}\right)^{3}\leqslant\frac{4}{9}\cdot\frac{1}{3}a^{2}h~\Leftrightarrow~27ah^{2}\leqslant4(a+h)^{3}~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~27t\leqslant4\left(t+1\right)^{3}~\Leftrightarrow~27t\leqslant4t^{3}+12t^{2}+12t+4~\Leftrightarrow~
\Leftrightarrow~4t^{3}+12t^{2}-15t+4\geqslant0~\Leftrightarrow~(2t-1)^{2}(t+4)\geqslant0\Leftrightarrow~
\Leftrightarrow~(2a-h)^{2}(a+4h)\geqslant0.
Последнее неравенство очевидно, причём равенство достигается в случае, когда h=2a
, т. е. для правильной четырёхугольной пирамиды, у которой высота вдвое больше стороны основания.