7294. Площади оснований произвольной усечённой пирамиды равны S_{1}
и S_{2}
. Найдите площадь S
её сечения плоскостью, проходящей через середину бокового ребра параллельно плоскостям оснований.
Докажите, что S\lt\frac{1}{2}(S_{1}+S_{2})
.
Ответ. \frac{(\sqrt{S_{1}}+\sqrt{S_{2}})^{2}}{4}
.
Решение. Будем считать, что S_{1}\gt S_{2}
. Достроим усечённую пирамиду до полной пирамиды с вершиной P
. Пусть PA_{1}=y
— какое-нибудь боковое ребро полной пирамиды, а PA_{2}=x
— разность между y
и боковым ребром A_{1}A_{2}
усечённой пирамиды. Обозначим \frac{x}{y}=t
.
Если M
— середина A_{1}A_{2}
, то пирамида с боковым ребром PM
подобна полной пирамиде с коэффициентом \frac{\frac{x+y}{2}}{y}=\frac{x+y}{2y}
, а пирамиде с боковым ребром PA_{2}
— с коэффициентом \frac{x+y}{2x}
, значит,
S_{1}=\left(\frac{2y}{x+y}\right)^{2}S=\frac{4}{(t+1)^{2}}S,~S_{2}=\left(\frac{2x}{x+y}\right)^{2}S=\frac{4t^{2}}{(t+1)^{2}}S.
Разделив второе из этих равенств на первое, получим, что \frac{S_{2}}{S_{1}}=t^{2}
. Значит, t=\sqrt{\frac{S_{2}}{S_{1}}}
. Следовательно,
S=S_{1}\cdot\frac{(t+1)^{2}}{4}=S_{1}\cdot\frac{\left(\sqrt{\frac{S_{2}}{S_{1}}}+1\right)^{2}}{4}=\frac{(\sqrt{S_{1}}+\sqrt{S_{2}})^{2}}{4}.
Кроме того,
\frac{(\sqrt{S_{1}}+\sqrt{S_{2}})^{2}}{4}\lt\frac{1}{2}(S_{1}+S_{2})~\Leftrightarrow~S_{1}+S_{2}+2\sqrt{S_{1}S_{2}}\lt2S_{1}+2S_{2}~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~(\sqrt{S_{1}}-\sqrt{S_{2}})^{2}\gt0.