7304. Каждое ребро треугольной пирамиды PABC
равно 1; BD
— высота треугольника ABC
. Равносторонний треугольник BDE
лежит в плоскости, образующей угол \varphi
с ребром AC
, причём точки P
и E
лежат по одну сторону от плоскости ABC
. Найдите расстояние между точками P
и E
.
Ответ. \frac{1}{2}\sqrt{5-2\sqrt{6}\sin\varphi}
.
Указание. Пирамида PABC
— правильный тетраэдр. Пусть M
— центр основания ABC
, N
— ортогональная проекция вершины E
равностороннего треугольника BDE
на плоскость ABC
, K
— середина BD
, F
— основание перпендикуляра, опущенного из точки E
на высоту PM
тетраэдра PABC
. Докажите, что \angle EKN=\varphi
и рассмотрите прямоугольные треугольники ENK
, MKN
и PFE
.
Решение. Поскольку все рёбра пирамиды PABC
равны, это правильный тетраэдр. Пусть M
— центр основания ABC
, N
— ортогональная проекция вершины E
равностороннего треугольника BDE
на плоскость ABC
, K
— середина BD
, F
— основание перпендикуляра, опущенного из точки E
на высоту PM
тетраэдра PABC
.
Так как EK\perp BD
, то по теореме о трёх перпендикулярах NK\perp BD
, поэтому EKN
— линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями ABC
и BDE
, а так как NK\parallel AC
, то \angle EKN=\varphi
. Далее имеем:
BD=\frac{\sqrt{3}}{2},~MD=\frac{\sqrt{3}}{6},~KD=\frac{1}{2}BD=\frac{\sqrt{3}}{4},~PM=\sqrt{\frac{2}{3}},
KM=KD-MD=\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{12},
EK=BD\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{4},~EN=EK\sin\varphi=\frac{3}{4}\sin\varphi,
NK=EK\cos\varphi=\frac{3}{4}\cos\varphi,~MN^{2}=NK^{2}+KM^{2}=\frac{9}{16}\cos^{2}\varphi+\frac{1}{48},
PE^{2}=EF^{2}+PF^{2}=MN^{2}+(PM-MF)^{2}=MN^{2}+(PM-EN)^{2}=
=\frac{9}{16}\cos^{2}\varphi+\frac{1}{48}+\left(\sqrt{\frac{2}{3}}-\frac{3}{4}\sin\varphi\right)^{2}=
=\frac{9}{16}\cos^{2}\varphi+\frac{1}{48}+\frac{2}{3}-\sqrt{\frac{3}{2}}\sin\varphi+\frac{9}{16}\sin^{2}\varphi=
=\frac{9}{16}+\frac{1}{48}+\frac{2}{3}-\sqrt{\frac{3}{2}}\sin\varphi=\frac{5}{4}-\sqrt{\frac{3}{2}}\sin\varphi=\frac{5}{4}-\frac{\sqrt{6}}{2}\sin\varphi.
Следовательно,
PE=\sqrt{\frac{5}{4}-\frac{\sqrt{6}}{2}\sin\varphi}=\frac{1}{2}\sqrt{5-2\sqrt{6}\sin\varphi}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет МГУ. — 1970, вариант 2, № 5
Источник: Моденов П. С. Пособие по математике. — Ч. II. — М.: Изд-во МГУ, 1972. — с. 256, № 98