7307. Высота пирамиды ABCD
, опущенная из вершины D
, проходит через точку пересечения высот треугольника ABC
. Кроме того, известно, что DB=b
, DC=c
, \angle BDC=90^{\circ}
. Найдите отношение площадей граней ADB
и ADC
.
Ответ. \frac{b}{c}
.
Указание. С помощью теоремы о трёх перпендикулярах докажите, что \angle ADB=90^{\circ}
.
Решение. Пусть M
— точка пересечения высот треугольника ABC
, DM
— высота пирамиды, а прямые BM
и AC
пересекаются в точке K
. Тогда BK
— высота треугольника ABC
, а так как прямая BK
— ортогональная проекция наклонной DB
на плоскость основания ABC
, то по теореме о трёх перпендикулярах DB\perp AC
. Значит, прямая DB
перпендикулярна двум пересекающимся прямым AC
и DC
плоскости грани ACD
. Поэтому \angle ADB=90^{\circ}
. Аналогично, \angle ADC=90^{\circ}
. Следовательно,
\frac{S_{\triangle ADB}}{S_{\triangle ADC}}=\frac{\frac{1}{2}AD\cdot DB}{\frac{1}{2}AD\cdot DC}=\frac{DB}{DC}=\frac{b}{c}.