7308. Все высоты пирамиды
ABCD
, грани которой являются остроугольными треугольниками, равны между собой. Известно, что
AB=9
,
BC=13
, а угол
ADC
равен
60^{\circ}
. Найдите ребро
BD
.
Ответ.
\sqrt{133}
.
Указание. Достройте данный тетраэдр до параллелепипеда, проведя через его противоположные рёбра пары параллельных плоскостей. Докажите, что если все грани тетраэдра равновелики, то они равны.
Решение. Поскольку объём пирамиды равен третьей части произведения основания на высоту, а все высоты пирамиды равны, все грани пирамиды равновелики. Докажем, что противоположные рёбра такой пирамиды попарно равны.
Достроим данный тетраэдр
ABCD
до параллелепипеда
AKBLNDMC
(
AN\parallel KD\parallel BM\parallel LC
), проведя через его противоположные рёбра пары параллельных плоскостей (рис. 2). Из середины
G
ребра
AB
опустим перпендикуляр
GH
на ребро
CD
(рис. 1). Рассмотрим ортогональную проекцию
PA_{1}B_{1}
тетраэдра
ABCD
на плоскость, перпендикулярную
CD
, где
P
— проекции точек
C
,
D
и
H
;
A_{1}
— проекция вершины
A
,
B_{1}
— проекция вершины
B
.
Из равенства площадей треугольников
ADC
и
BDC
, следует равенство их высот, проведённых к общей стороне
CD
, а значит, и равенство ортогональных проекций
A_{1}P
и
B_{1}P
этих высот на плоскость, перпендикулярную
CD
. Поскольку проекция
G_{1}
середины отрезка
AB
является серединой
A_{1}B_{1}
, медиана
PG_{1}
равнобедренного треугольника
A_{1}B_{1}P
перпендикулярна основанию
A_{1}B_{1}
. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах
GH\perp AB
. Значит, общий перпендикуляр скрещивающихся прямых
AB
и
CD
проходит через середину
AB
. Аналогично, общий перпендикуляр скрещивающихся прямых
AB
и
CD
проходит через середину
CD
.
Таким образом, отрезки, соединяющие середины противоположных рёбер тетраэдра
ABCD
, перпендикулярны этим рёбрам (рис. 2), а значит, и граням параллелепипеда
AKBLNDMC
. Поэтому, параллелепипед
AKBLNDMC
— прямоугольный. Следовательно, противоположные рёбра тетраэдра
ABCD
попарно равны как диагонали противоположных граней прямоугольного параллелепипеда. Значит,
AD=BC=13,~CD=AB=9.

Следовательно,
BD=AC=\sqrt{AD^{2}+BC^{2}-2AD\cdot BC\cos\angle ADC}=

=\sqrt{169+81-13\cdot9}=\sqrt{133}.

Источник: Вступительный экзамен на факультет вычислительной математики и кибернетики (ВМК) МГУ. — 1994 (основной экзамен) вариант 1, № 6