7310. Докажите, что объём призмы равен произведению площади перпендикулярного сечения на боковое ребро.
Решение. Любую призму можно разбить на треугольные, поэтому достаточно доказать утверждение для треугольной призмы. Для прямой призмы утверждение очевидно.
Пусть ABCA_{1}B_{1}C_{1}
— наклонная треугольная призма с боковыми рёбрами AA_{1}=BB_{1}=CC_{1}=l
, а плоскость, перпендикулярная прямым AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
, пересекает их в точках A_{2}
, B_{2}
, C_{2}
соответственно.
На прямых AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
отложим по одну сторону от плоскости A_{2}B_{2}C_{2}
отрезки A_{2}A_{3}
, B_{2}B_{3}
, C_{2}C_{3}
соответственно, причём A_{2}A_{3}=B_{2}B_{3}=C_{2}C_{3}=l
. Тогда A_{2}B_{2}C_{2}A_{3}B_{3}C_{3}
— прямая призма, основание которой — перпендикулярное сечение исходной призмы, а высота равна боковому ребру исходной призмы. Её объём равен Sl
, где S
— площадь треугольника A_{2}B_{2}C_{2}
. Осталось доказать, что построенная прямая призма равновелика исходной.
При параллельном переносе на вектор \overrightarrow{AA_{1}}
точки A
, B
, C
переходят в точки A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
, а точки A_{2}
, B_{2}
, C_{2}
— в точки A_{3}
, B_{3}
, C_{3}
соответственно. Тогда многогранник ABCA_{2}B_{2}C_{2}
переходит в многогранник A_{1}B_{1}C_{1}A_{3}B_{3}C_{3}
, поэтому эти многогранники равны, а значит, равновелики. Отсюда следует равновеликость исходной призмы и построенной прямой призмы.
Таким образом, объём исходной призмы также равен Sl
, т. е. произведению площади перпендикулярного сечения на боковое ребро.