7311. Один фермер сварил сыр в виде неправильной пятиугольной призмы, а другой — в виде правильной четырёхугольной пирамиды, высота которой в два раза меньше стороны основания. Ночью мыши отъели от всех вершин этих многогранников все частицы сыра, которые находились на расстоянии не больше 1 см от соответствующей вершины. У съеденных кусков сыра не было общих частиц. Какой из фермеров понёс больший ущерб и во сколько раз его ущерб больше?
Ответ. Ущерб первого фермера в 4,5 раза больше ущерба второго.
Решение. На продолжении бокового ребра AA_{1}
пятиугольной призмы ABCDEA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}
, все рёбра которой больше 2, за вершину A
отметим точку F
(рис. 1). При параллельном переносе на вектор \overrightarrow{A_{1}A}
трёхгранный угол при вершине A_{1}
призмы перейдёт в трёхгранный угол AFBE
с вершиной A
. Рассмотрим шар радиуса 1 с центром в точке A
. Тогда сумма объёмов отъеденного от вершин A
и A_{1}
сыра равен объёму пересечения этого шара с двугранным углом AA_{1}
призмы. Если линейный угол этого двугранного угла равен \alpha_{1}
, то объём пересечения равен \frac{\alpha_{1}}{2\pi}\cdot\frac{4}{3}\pi=\frac{2}{3}\alpha_{1}
.
Если \alpha_{2}
, \alpha_{3}
, \alpha_{4}
и \alpha_{5}
— линейные углы двугранных углов BB_{1}
, CC_{1}
, DD_{1}
и EE_{1}
призмы, то сумма объёмов всех съеденных кусков сыра в этом случае равна
V_{1}=\frac{2}{3}\alpha_{1}+\frac{2}{3}\alpha_{2}+\frac{2}{3}\alpha_{3}+\frac{2}{3}\alpha_{4}+\frac{2}{3}\alpha_{5}=\frac{2}{3}(\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}+\alpha_{4}+\alpha_{5})=\frac{2}{3}\pi(5-2)=2\pi,
так как \alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}+\alpha_{4}+\alpha_{5}
— сумма внутренних углов пятиугольника, являющегося перпендикулярным сечением призмы.
Рассмотрим куб KLMNK_{1}L_{1}M_{1}N_{1}
, ребро которого больше 2 (рис. 2). Пусть S
— центр этого куба. Тогда четырёхугольная пирамида SKLMN
с вершиной S
— это правильная четырёхугольная пирамида, о которой говорится в условии задачи.
Объём отъеденного от вершины S
сыра равен одной шестой части объёма единичного шара с центром S
, т. е. \frac{1}{6}\cdot\frac{4}{3}\pi=\frac{2\pi}{9}
, так как при этой вершине сходятся 6 равных правильных четырёхугольных пирамид, основания которых — 6 граней куба.
Объём отъеденного от вершины M
сыра равен третьей части объёма пересечения единичного шара с центром M
с трёхгранным углом куба при вершине M
, т. е. \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{8}\cdot\frac{4}{3}\pi=\frac{\pi}{18}
, так как при этой вершине сходятся три равных трёхгранных угла правильных четырёхугольных пирамид SKLMN
, SLMM_{1}L_{1}
и SMNN_{1}M_{1}
с общей вершиной S
. Аналогично для вершин K
, L
и N
. Значит, объём всего съеденного сыра в этом случае равен
V_{2}=\frac{2\pi}{9}+4\cdot\frac{\pi}{18}=\frac{4\pi}{9}.
Следовательно, больший ущерб понёс первый фермер, причём
\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{2\pi}{\frac{4\pi}{9}}=\frac{9}{2}.
Источник: Межвузовская математическая олимпиада. — 2010, 11 кл.