7315. Как расположить в пространстве спичечный коробок, чтобы его проекция на плоскость имела наибольшую площадь?
Ответ. Коробок-параллелепипед должен располагаться так, чтобы плоскость, проходящая через вторые концы трёх его рёбер, исходящих из одной вершины, была горизонтальна.
Решение. Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Его проекция на любую плоскость — выпуклый шестиугольник BCDD_{1}A_{1}B_{1}
(возможно, вырождающийся в четырёхугольник), состоящий из трёх параллелограммов ABCD
, ADD_{1}A_{1}
и ABB_{1}A_{1}
. Отрезки BD
, DA_{1}
и A_{1}B
разбивают каждый из этих параллелограммов на два равных треугольника, поэтому S_{BCDD_{1}A_{1}B_{1}}=2S_{\triangle BDA_{1}}
.
Треугольник BDA_{1}
— ортогональная проекция треугольника, стороны которого — диагонали граней параллелепипеда, а так как площадь ортогональной проекции треугольника равна площади проектируемого треугольника, умноженной на косинус угла между плоскостью треугольника и плоскостью проекций, то площадь проекции не больше площади самого треугольника, причём равенство достигается в случае, когда косинус угла равен 1, т. е. когда плоскость проекция параллельна плоскости треугольника.
Следовательно, в нашем случае проекция имеет наибольшую площадь, если плоскость проекций параллельна плоскости треугольника BDA_{1}
. Тогда эта наибольшая площадь равна удвоенной площади треугольника BDA_{1}
.