7317. В тетраэдре одна из высот пересекает две другие. Докажите, что все высоты пересекаются в одной точке.
Решение. Пусть высота DD_{1}
тетраэдра ABCD
пересекается с высотами AA_{1}
и BB_{1}
, а плоскость, проведённая через пересекающиеся прямые DD_{1}
и AA_{1}
, пересекает прямую BC
в точке M
. Тогда прямая BC
перпендикулярна плоскости ADM
, значит, AM\perp BC
, т. е. AM
— высота треугольника ABC
. Аналогично докажем, что если плоскость, проведённая через пересекающиеся прямые DD_{1}
и BB_{1}
, пересекает прямую AC
в точке N
, то BN
— также высота треугольника ABC
, а так как прямые AM
и BN
пересекаются в точке D_{1}
, то D_{1}
— ортоцентр треугольника ABC
. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах противоположные рёбра тетраэдра попарно перпендикулярны. Следовательно, высоты тетраэдра ABCD
(или их продолжения) пересекаются в одной точке (см. задачу 7807), т. е. тетраэдр ортоцентрический.
Из доказанного ранее утверждения следует, что все высоты тетраэдра пересекаются в одной точке.