7318. Докажите что в равногранном тетраэдре основания высот, середины высот и точки пересечения высот граней лежат на одной сфере (сфера 12 точек).
Решение. Рассмотрим равногранный тетраэдр ABCD
. Пусть O_{1}
— ортогональная проекция центра O
описанной сферы на плоскость ABC
, DD_{1}
— высота тетраэдра, M_{1}
— точка пересечения медиан треугольника ABC
, H_{1}
— точка пересечения высот треугольника ABC
. Тогда O_{1}
— центр описанной окружности треугольника ABC
Точки O_{1}
, M_{1}
и H_{1}
лежат на одной прямой — прямой Эйлера треугольника ABC
. При этом точка M_{1}
лежит между O_{1}
и H_{1}
и M_{1}H_{1}=2M_{1}O_{1}
.
Поскольку тетраэдр равногранный, центр O
его описанной сферы совпадает с точкой M
пересечения медиан, значит, точка O_{1}
лежит на проекции медианы DM_{1}
тетраэдра на плоскость ABC
, т. е. на прямой D_{1}M_{1}
. Но точки O_{1}
и M_{1}
лежат на прямой Эйлера треугольника ABC
, значит, на этой прямой лежит и точка D_{1}
.
Обозначим M_{1}O_{1}=t
. Тогда
M_{1}H_{1}=2t,~O_{1}D_{1}=3O_{1}M_{1}=3t,~O_{1}H_{1}=M_{1}O_{1}+M_{1}H_{1}=t+2t=3t=O_{1}D_{1},
следовательно, O_{1}
— середина стороны D_{1}H_{1}
треугольника OD_{1}H_{1}
, а так как OO_{1}
— высота этого треугольника и OO_{1}=\frac{1}{4}DD_{1}=\frac{h}{4}
, где h
— высота тетраэдра, то
OD_{1}=OH_{1}=\sqrt{OO_{1}^{2}+O_{1}D_{1}^{2}}=\sqrt{9t^{2}+\frac{h^{2}}{16}}.
Пусть K
— середина высоты DD_{1}
, P
— проекция точки O
на прямую DD_{1}
. Тогда
PD_{1}=OO_{1}=\frac{h}{4},~KP=KD_{1}-PD_{1}=\frac{h}{2}-\frac{h}{4}=\frac{h}{4},~OP=O_{1}D_{1}=3t.
Из прямоугольного треугольника OPK
находим, что
OK=\sqrt{OP^{2}+KP^{2}}=\sqrt{9t^{2}+\frac{h^{2}}{16}}.
Таким образом, точки D_{1}
, H_{1}
и K
удалены от точки O
на одно и то же расстояние \sqrt{9t^{2}+\frac{h^{2}}{16}}
, следовательно, они лежат на сфере с центром O
и радиусом \sqrt{9t^{2}+\frac{h^{2}}{16}}
.
Поскольку все высоты равногранного тетраэдра равны и все его грани равны, то расстояния от точки O
до остальных девяти из указанных в условии точек также равны \sqrt{9t^{2}+\frac{h^{2}}{16}}
. Отсюда следует утверждение задачи.