7321. Точка O
расположена в сечении AA'C'C
прямоугольного параллелепипеда ABCDA'B'C'D'
размером 2\times6\times9
так, что \angle OAB+\angle OAD+\angle OAA'=180^{\circ}
. Сфера с центром в точке O
касается плоскостей A'B'C'
, AA'B
и не имеет общих точек с плоскостью AA'D
. Найдите расстояние от точки O
до этой плоскости.
Ответ. 3.
Решение. Обозначим \angle OAB=\alpha
, \angle OAD=\beta
, \angle OAA'=\gamma
. По условию задачи \alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}
.
Отложим на луче AO
отрезок AE=1
(рис. 1). Тогда проекции точки E
на прямые AB
, AD
и AA'
равны \cos\alpha
, \cos\beta
и \cos\gamma
соответственно. По теореме о квадрате диагонали прямоугольного параллелепипеда \cos^{2}\alpha+\cos^{2}\beta+\cos^{2}\gamma=1
, а так как \gamma=180^{\circ}-\alpha-\beta
, то
\cos^{2}\alpha+\cos^{2}\beta+\cos^{2}(180^{\circ}-\alpha-\beta)=1,~\cos^{2}\alpha+\cos^{2}\beta+\cos^{2}(\alpha+\beta)=1,
2\cos^{2}\alpha+2\cos^{2}\beta+2\cos^{2}(\alpha+\beta)=2,~1+\cos2\alpha+1+\cos2\beta+2\cos^{2}(\alpha+\beta)=2,
\cos2\alpha+\cos2\beta+2\cos^{2}(\alpha+\beta)=0,~2\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)+2\cos^{2}(\alpha+\beta)=0,
\cos(\alpha+\beta)(\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta))=0,~\cos(\alpha+\beta)\cos\alpha\cos\beta=0,~\cos\gamma\cos\alpha\cos\beta=0.
Следовательно, либо \gamma=90^{\circ}
, либо \beta=90^{\circ}
, либо \alpha=90^{\circ}
.
Если \alpha=90^{\circ}
, то точка O
лежит в плоскости AA'D
, что невозможно, так как сфера с центром O
не имеет общих точек с этой плоскостью. Если \beta=90^{\circ}
, то точка O
лежит в плоскости AA'B
, что также невозможно, так как сфера с центром O
касается этой плоскости. Значит, \gamma=90^{\circ}
, поэтому точка O
лежит в плоскости ABCD
, а значит, — на прямой AC
пересечения плоскостей AA'C'C
и ABCD
.
Сфера с центром O
, лежащим в плоскости ABC
, касается плоскостей A'B'C'D'
и AA'B
, поэтому её радиус равен длине ребра AA'
и меньше длины ребра AD
, а так как сфера не имеет общих точек с гранью AA'D
, то её радиус r
меньше длины ребра AB
. Следовательно, AA'
— наименьшее ребро параллелепипеда, т. е. r=AA'=2
.
Расстояние от центра сферы до плоскости AA'D
(рис. 2) равно расстоянию то точки O
, лежащей на диагонали AC
прямоугольника ABCD
, до стороны AD
, поэтому AB\gt AD
. Значит, AB=CD=9
и AD=BC=6
. Пусть H
— проекция точки O
на сторону AD
. Тогда искомое расстояние равно длине отрезка OH
. Из подобия прямоугольных треугольников AOH
и ACD
находим, что
OH=CD\cdot\frac{AH}{AD}=9\cdot\frac{2}{6}=3.