7325. Существует ли в пространстве куб, расстояния от вершин которого до данной плоскости равны 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7?
Ответ. Существует.
Решение. Рассмотрим куб, вершины которого имеют декартовы координаты (0;0;0)
, (0;0;1)
, (0;1;0)
, …, (1;1;1)
— всего восемь троек. Если в каждой такой тройке числа записать подряд, выбросив из записи запятые, и прочитать эти тройки как двоичные числа, то получится ряд чисел: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; при этом тройке (x;y;z)
нулей и единиц соответствует число 4x+2y+z
, т. е. скалярное произведение вектора \overrightarrow{v}=(4;2;1)
на вектор (x;y;z)
.
Проведём через начало координат плоскость \Pi
, перпендикулярную вектору \overrightarrow{v}
. Скалярное произведение двух векторов равно произведению модуля одного из них на проекцию на него другого вектора, поэтому, что проекции вершин куба на прямую, содержащую вектор \overrightarrow{v}
, находятся от начала координат (а значит, вершины куба — от плоскости \Pi
) на расстояниях, пропорциональных числам 0, 1, 2, …, 7. Чтобы получить искомый куб, нужно наш куб подвергнуть гомотетии с центром в начале координат с соответствующим коэффициентом.