7327. Все грани треугольной пирамиды — равные равнобедренные треугольники, а высота пирамиды совпадает с высотой одной из её боковых граней. Найдите объём пирамиды, если расстояние между наибольшими противоположными рёбрами равно 1.
Ответ. \frac{2}{3}
.
Решение. Пусть высота DH
пирамиды ABCD
с вершиной D
является высотой боковой грани ADC
. Предположим (рис. 1), что AC=AD=b
, CD=a
(a\ne b
, так как в противном случае ABCD
— правильный тетраэдр). Тогда из равенства всех граней пирамиды следует, что BD=BC=b
и высота равнобедренного треугольника BCD
, опущенная на боковую сторону BC
, равна высоте DH
равнобедренного треугольника ACD
, опущенной на боковую сторону AC
, что невозможно, так как DH
— перпендикуляр к плоскости основания пирамиды, а DP
— наклонная к этой плоскости. Таким образом, DH
— высота равнобедренного треугольника ADC
, опущенная на основание.
Обозначим DA=DC=a
, AC=b
(рис. 2). Тогда AB=BC=a
и BD=AC=b
. По теореме Пифагора
BH=DH=\sqrt{AD^{2}-AH^{2}}=\sqrt{a^{2}-\frac{b^{2}}{4}},
а так как DH\perp BH
, то
b=BD=BH\cdot\sqrt{2}=\sqrt{a^{2}-\frac{b^{2}}{4}}\cdot\sqrt{2}=\sqrt{2a^{2}-\frac{b^{2}}{2}}.
Из равенства b=\sqrt{2a^{2}-\frac{b^{2}}{2}}
находим, что b^{2}=\frac{4}{3}a^{2}
. Следовательно, b\gt a
, значит, расстояние между наибольшими противоположными рёбрами — это расстояние между AC
и BD
.
Пусть M
— середина BD
. Тогда HM
— высота и медиана равнобедренного треугольника BHD
, а так как HM
лежит в плоскости, перпендикулярной AC
, то HM
— общий перпендикуляр прямых BD
и AC
, HM=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}b
. По условию задачи HM=1
, значит, b=2
. Тогда
a=\frac{\sqrt{3}}{2}b=\sqrt{3},~DH=BH=MH\sqrt{2}=\sqrt{2}.
Следовательно,
V_{ABCD}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot DH=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}AC\cdot BH\cdot DH=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{2}\cdot2\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=\frac{2}{3}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет МГУ. — 1971, вариант 1, № 3