7328. Дана четырёхугольная пирамида, в которую можно вписать сферу, причём центр этой сферы лежит на высоте пирамиды. Докажите, что в основание пирамиды можно вписать окружность.
Решение. Пусть SH
— высота четырёхугольной пирамиды SABCD
с вершиной S
, O
— центр сферы, вписанной в пирамиду (O
лежит на отрезке SH
), K
, L
, M
и N
— точки касания сферы с гранями ASB
, BSC
, CSD
и ASD
соответственно.
Прямоугольные треугольники OKS
, OLS
, OMS
и ONS
равны по катету (радиус сферы) и гипотенузе, поэтому
\angle OSK=\angle OSL=\angle OSM=\angle OSN.
Продолжим отрезки SK
, SL
, SM
и SN
до пересечения со сторонами AB
, BC
, CD
и AD
основания в точках K_{1}
, L_{1}
, M_{1}
и N_{1}
соответственно. Прямая AB
перпендикулярна двум пересекающимся прямым OK
и SH
плоскости SHK_{1}
, поэтому AB\perp SK_{1}
. Аналогично, BC\perp SL_{1}
, CD\perp SM_{1}
и AD\perp SN_{1}
, а также HK_{1}\perp AB
, HL_{1}\perp BC
, HM_{1}\perp CD
и HN_{1}\perp AD
.
Прямоугольные треугольники SK_{1}H
, SL_{1}H
, SM_{1}H
и SN_{1}H
равны по катету и прилежащему острому углу, поэтому HK_{1}=HL_{1}=HM_{1}=HN_{1}
, значит, точка H
равноудалена от сторон четырёхугольника ABCD
. Следовательно, H
— центр окружности, вписанной в этот четырёхугольник.