7330. Все грани треугольной пирамиды — прямоугольные треугольники. Наибольшее ребро равно a
, а противоположное ребро равно b
. Двугранный угол при наибольшем ребре равен \alpha
. Найдите объём пирамиды.
Ответ. \frac{1}{6}ab^{2}\ctg\alpha
.
Решение. Пусть D
— вершина данной треугольной пирамиды ABCD
. Предположим, что у прямоугольных треугольников ADB
, BDC
и CDA
прямые углы при вершинах A
, B
и C
. Тогда AD\lt BD\lt CD\lt AD
, что невозможно. Значит, прямые углы двух боковых граней прилежат к одной из вершин основания. Пусть это вершина A
, т. е. \angle BAD=\angle CAD=90^{\circ}
, и при этом \angle BCD=90^{\circ}
.
Пусть \angle BAC=90^{\circ}
. Тогда треугольник BDC
не может быть прямоугольным, так как если \angle BCD=90^{\circ}
, то \angle ACB=90^{\circ}
, что невозможно. Аналогично \angle CBD\ne90^{\circ}
. Если же \angle BDC=90^{\circ}
, то прямая BD
перпендикулярна плоскости ACD
, так как BD\perp CD
и BD\perp AC
, что также невозможно (из точки B
опущены два перпендикуляра к плоскости ACD
).
Таким образом, ребро DA
— перпендикуляр к плоскости ABC
и \angle ACB=90^{\circ}
. По теореме о трёх перпендикулярах \angle ACD=90^{\circ}
, значит,
BD\gt AB\gt BC,~BD\gt AB\gt AC,~BD\gt AD,
т. е. BD
наибольшее ребро пирамиды, BD=a
, а AC=b
.
Пусть CK
и CL
— высоты прямоугольных треугольников ABC
и BCD
. Тогда CK\perp AB
и CK\perp BD
, поэтому CK
— перпендикуляр к плоскости ABD
, а KL\perp BD
по теореме о трёх перпендикулярах, значит, CLK
— линейный угол двугранного угла при ребре BD
. По условию задачи \angle CLK=\alpha
.
Обозначим BC=x
. Из прямоугольных треугольников ABC
и BCD
находим, что
CK=\frac{AC\cdot BC}{AB}=\frac{bx}{\sqrt{b^{2}+x^{2}}},~CL=\frac{BC\cdot CD}{BD}=\frac{x\sqrt{a^{2}-x^{2}}}{a},
а так как CK=CL\sin\alpha
, то
\frac{bx}{\sqrt{b^{2}+x^{2}}}=\frac{x\sqrt{a^{2}-x^{2}}}{a}\sin\alpha,~\sqrt{(a^{2}-x^{2})(b^{2}+x^{2})}=\frac{ab}{\sin\alpha},~
x^{4}-(a^{2}-b^{2})x^{2}+a^{2}b^{2}\ctg^{2}\alpha=0,
откуда
a^{2}-b^{2}=\frac{x^{4}+a^{2}b^{2}\ctg^{2}\alpha}{x^{2}}.
Следовательно,
V_{ABCD}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot AD=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}AC\cdot BC\cdot AD=\frac{1}{6}bx\sqrt{a^{2}-(b^{2}+x^{2})}=
=\frac{1}{6}b\sqrt{x^{2}(a^{2}-b^{2}-x^{2})}=\frac{1}{6}b\sqrt{x^{2}\left(\frac{x^{4}+a^{2}b^{2}\ctg^{2}\alpha}{x^{2}}\right)-x^{4}}=
=\frac{1}{6}b\sqrt{x^{4}+a^{2}b^{2}\ctg^{2}\alpha-x^{4}}=\frac{1}{6}ab^{2}\ctg\alpha.