7331. На длинном прямолинейном проводе сидели белая и серая вороны, а между ними воробей и сорока: воробей — посередине, а сорока к белой вороне в полтора раза ближе, чем к серой. Расстояния от белой вороны, серой вороны и сороки до другого прямолинейного провода равны 16 м, 34 м и 20 м соответственно. Найдите расстояние от воробья до этого провода.
Ответ. \sqrt{481}
м.
Указание. Рассмотрите ортогональную проекцию данных прямых на плоскость, перпендикулярную второй прямой.
Решение. Пусть B
, S
, V
и C
— точки на первом проводе, соответствующие белой вороне, сороке, воробью и серой вороне, а B_{1}
, S_{1}
, V_{1}
и C_{1}
— основания перпендикуляров, опущенных из этих точек на вторую прямую (рис. 1). Положим BC=10x
. Тогда
BV=CV=5x,~BS=\frac{2}{5}BC=4x,~SC=\frac{3}{5}BC=6x,~SV=BV-BS=x.
По условию задачи
BB_{1}=16,~SS_{1}=20,~CC_{1}=34.
Предположим, что данные прямые лежат в одной плоскости. Ясно, что они не могут быть параллельными. Если точка пересечения этих прямых лежит вне отрезка B_{1}C_{1}
, то, опустив перпендикуляры BD
и SE
из точек B
и S
на прямые SS_{1}
и CC_{1}
соответственно, получим подобные треугольники BDS
и SEC
, что невозможно, так как
\frac{BS}{SC}=\frac{2}{3}\ne\frac{4}{14}=\frac{SD}{CE}.
Аналогично для случая, когда точка пересечения данный прямых лежит на отрезке B_{1}C_{1}
. Таким образом, данные прямые — скрещивающиеся.
Рассмотрим ортогональную проекцию данных прямых на плоскость \alpha
, перпендикулярную второй прямой (т. е. прямой B_{1}C_{1}
) (рис. 2). Пусть точки B'
, S'
, V'
и C'
— ортогональные проекции на эту плоскость точек B
, S
, V
и C
соответственно, M
— проекция точек B_{1}
, S_{1}
, V_{1}
и C_{1}
. По свойству параллельного проектирования
B'S':S'V':V'C'=BS:SV:VC=4:1:5,
а так как отрезки BB_{1}
, SS_{1}
, VV_{1}
и CC_{1}
перпендикулярны прямой B_{1}C_{1}
, то они параллельны плоскости \alpha
. Поэтому
MB'=BB_{1}=16,~MS'=SS_{1}=20,~MC'=CC_{1}=34,~MV'=VV_{1}.
Обозначим S'V'=t
, \angle MB'C'=\varphi
. Тогда B'S'=4t
, B'C'=10t
. Из треугольников MB'S'
и MB'C'
по теореме косинусов находим, что
\cos\varphi=\frac{16t^{2}+256-400}{2\cdot4t\cdot16},~\cos\varphi=\frac{100t^{2}+256-1156}{2\cdot10t\cdot16}.
Из уравнения
\frac{16t^{2}+256-400}{2\cdot4t\cdot16}=\frac{100t^{2}+256-1156}{2\cdot10t\cdot16}
находим, что t=3
. Поэтому B'S'=4t=12
, значит, треугольник MB'S'
— прямоугольный (16^{2}+12^{2}=20^{2}
), \varphi=90^{\circ}
. Следовательно,
VV'=MV'=\sqrt{B'V'^{2}+MB'^{2}}=\sqrt{25t^{2}+16^{2}}=\sqrt{225+256}=\sqrt{481}.