7336. Сфера касается всех рёбер тетраэдра. Докажите, что сумма длин противоположных рёбер тетраэдра одна и та же для любой пары противоположных рёбер.
Решение. Пусть сфера касается рёбер AB
, BC
, AC
, AD
, BD
и CD
тетраэдра ABCD
в точках K
, L
, M
, N
, P
и Q
соответственно. Тогда
AM=AK=AN,~BK=BL=BP,~CL=CM=CQ,~DN=DP=DQ
как отрезки касательных, проведённых к сфере из одной точки. Тогда
AB+CD=(AK+BK)+(CQ+DQ)=(AN+BL)+(CL+DN)=
=(AN+DN)+(BL+CL)=AD+BC.
Аналогично AB+CD=AC+BD
.
Примечание. См. также статью В.Э.Матизена: «Равногранные и каркасные тетраэдры», Квант, 1983, N7, с.34.