7338. Докажите, что вершина A
прямоугольного параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
равноудалена от плоскостей BA_{1}D
, A_{1}BC_{1}
, A_{1}DC_{1}
и BC_{1}D
(т. е. является центром вневписанной сферы равногранного тетраэдра A_{1}BC_{1}D
).
Решение. Тетраэдры ABDA_{1}
, ABDC_{1}
, ADA_{1}C_{1}
и ABA_{1}C_{1}
с общей вершиной A
равновелики (объём каждого из них равен \frac{1}{6}
части объёма данного параллелепипеда), а так как их грани A_{1}BD
, BDC_{1}
, DA_{1}C_{1}
и BA_{1}C_{1}
равны, то равны и высоты, опущенные на эти грани. Значит, точка A
равноудалена от плоскостей всех граней тетраэдра A_{1}BC_{1}D
. Следовательно, A
— центр вневписанной сферы этого тетраэдра.