7341. Докажите, что тетраэдр ABCD
равногранный тогда и только тогда, когда \angle ABC=\angle ADC=\angle BAD=\angle BCD
.
Решение. Необходимость. Пусть ABCD
— равногранный тетраэдр. Разрежем его по рёбрам DA
, DB
, DC
и рассмотрим развёртку на плоскость ABC
. Поскольку тетраэдр равногранный, то эта развёртка — треугольник D_{a}D_{b}D_{c}
, а отрезки AB
, AC
и BC
— его средние линии: AB\parallel D_{a}D_{b}
, BC\parallel D_{b}D_{c}
, AC\parallel D_{a}D_{c}
. Значит, треугольники ABC
, CD_{b}A
, D_{a}CB
и BAD_{c}
равны по трём сторонам. Следовательно,
\angle ABC=\angle BCD_{a}=\angle BCD=\angle BAD_{c}=\angle BAD=\angle AD_{b}C=\angle ADC.
Что и требовалось доказать.
Достаточность. Пусть в тетраэдре ABCD
известно, что \angle ABC=\angle ADC=\angle BAD=\angle BCD
. Докажем, что BC=AD
, AB=CD
.
Предположим, что BC\gt AD
и AB\gt CD
. На стороне AB
треугольника ABC
отложим отрезок BK=CD
. Тогда треугольник KBC
равен треугольнику DCB
по двум сторонам и углу между ними, значит, CK=BD
.
На стороне BC
треугольника ABC
отложим отрезок BM=DA
. Тогда треугольник ABM
равен треугольнику DAB
по двум сторонам и углу между ними, значит, AM=BD
. Следовательно, AM=CK
.
Треугольник ADC
равен треугольнику KBM
по двум сторонам и углу между ними, поэтому KM=AC=b
. Таким образом, AM=CK
и AC=KM
, т. е. в четырёхугольнике AKMC
равны две противоположные стороны и диагонали. Тогда две другие его противоположные стороны параллельны (высоты равных треугольников CAM
и CKM
, опущенные на общее основание CM
, равны). Следовательно, AK\parallel CM
, что невозможно.
Аналогично для всех случаев BC\ne AD
и AB\ne CD
. Если BC\ne AD
, а AB=CD
, приведённое решение упрощается.
Итак, доказано, что BC=AD
и AB=CD
. Тогда треугольники ADC
и CBA
равны по двум сторонам и углу между ними, значит, BD=AC
, т. е. противоположные рёбра тетраэдра ABCD
попарно равны. Следовательно, тетраэдр равногранный.