7342. Через вершины основания ABCD
четырёхугольной пирамиды SABCD
проведены прямые, параллельные противолежащим боковым рёбрам (через вершину A
— параллельно SC
и так далее). Эти четыре прямые пересекаются в одной точке. Докажите, что четырёхугольник ABCD
— параллелограмм.
Решение. Пусть прямые, о которых говорится в условии задачи, пересекаются в точке S_{1}
. Тогда AS_{1}CS
— параллелограмм. Его диагональ SS_{1}
проходит через середину диагонали AC
и делится ею пополам. Аналогично, SS_{1}
проходит через середину диагонали BD
и делится ею пополам. Поэтому диагонали AC
и BD
четырёхугольника ABCD
проходят через одну и ту же точку (середину SS_{1}
) и делятся ею пополам. Следовательно, ABCD
— параллелограмм.
Автор: Агаханов Н. Х.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2011-2012, XXXVIII, региональный этап, 11 класс