7347. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF
с основанием ABCDEF
найдите расстояние от точки A
до плоскости SBC
, если известно, что стороны основания равны 1, а боковые рёбра равны 2.
Ответ. \frac{\sqrt{15}}{5}
.
Решение. Прямая AD
параллельна прямой BC
, лежащей в плоскости SBC
, поэтому прямая AD
параллельна этой плоскости. Значит, расстояние от точки A
до плоскости SBC
равно расстоянию от любой другой точки прямой AD
до этой плоскости, в частности, от точки O
— центра правильного шестиугольника ABCDEF
.
Опустим перпендикуляр OH
из точки O
на апофему SM
. Тогда OH
— высота прямоугольного треугольника SOM
, проведённая из вершины прямого угла. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая BC
перпендикулярна плоскости SOM
, так как BC\perp OM
и BC\perp SM
, значит, BC\perp OH
. Таким образом, прямая OH
перпендикулярна двум пересекающимся прямым SM
и BC
плоскости SBC
, следовательно, расстояние от точки O
(а, значит, и от A
) до плоскости SBC
равно длине отрезка OH
.
В прямоугольном треугольнике OMS
известно, что
OM=BM\tg60^{\circ}=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2},~SO=\sqrt{SC^{2}-OC^{2}}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3},
SM=\sqrt{SB^{2}-BM^{2}}=\sqrt{4-\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{15}}{2}.
Записав двумя способами площадь треугольника SOM
, получим, что \frac{1}{2}OM\cdot SO=\frac{1}{2}SM\cdot OH
, откуда
OH=\frac{OM\cdot SO}{SM}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{15}}{2}}=\frac{3}{\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{15}}{5}.
Источник: Смирнов В. А. ЕГЭ 2010. Математика. Задача C2. Геометрия. Стереометрия / Под. ред. А. Л. Семёнова, И. В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2010. — № 5.2, с. 9