7350. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}
, все рёбра которой равны 1, найдите расстояние от точки A
до плоскости BFE_{1}
.
Ответ. \frac{\sqrt{2}}{4}
.
Решение. Пусть O
и O_{1}
— центры правильных шестиугольников ABCDEF
и A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}
, M
— точка пересечения отрезков AD
и BF
, M_{1}
— точка пересечения отрезков A_{1}D_{1}
и C_{1}E_{1}
. Тогда M
и M_{1}
— середины отрезков OA
и O_{1}D_{1}
, а MM_{1}
— прямая пересечения плоскостей BFE_{1}C_{1}
и AA_{1}D_{1}D
.
Пусть N
— проекция точки M_{1}
на плоскость основания ABCDEF
. Тогда N
— середина OD
, поэтому
MN=MO+ON=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1,
а так как M_{1}N=DD_{1}=1
, то прямоугольный треугольник MNM_{1}
— равнобедренный, поэтому \angle NMM_{1}=45^{\circ}
.
Опустим перпендикуляр OH
на прямую MM_{1}
. Прямая OH
перпендикулярна двум пересекающимся прямым MM_{1}
(по построению) и BF
(по теореме о трёх перпендикулярах) плоскости BFE_{1}C_{1}
, значит, OH
— перпендикуляр к этой плоскости, а так как OM=AM
, то точки A
и M
равноудалены от плоскости BFE_{1}C_{1}
. Следовательно, расстояние от точки A
до плоскости BFE_{1}C_{1}
равно длине отрезка OH
.
Из прямоугольного треугольника OHM
находим, что
OH=OM\sin\angle NMM_{1}=\frac{1}{2}\sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{4}.
Источник: Смирнов В. А. ЕГЭ 2010. Математика. Задача C2. Геометрия. Стереометрия / Под. ред. А. Л. Семёнова, И. В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2010. — № 5.3, с. 9
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 5(з), с. 35