7352. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD
, все рёбра которой равны, точка E
— середина ребра SC
. Найдите тангенс угла между прямыми SA
и BE
.
Ответ. \sqrt{2}
.
Решение. Пусть рёбра пирамиды SABCD
равны a
, O
— центр основания ABCD
. Тогда OE
— средняя линия треугольника SAC
, поэтому OE=\frac{1}{2}SA=\frac{a}{2}
и OE\parallel SA
.
Угол \alpha
между скрещивающимися прямыми SA
и BE
равен углу между пересекающимися прямыми OE
и BE
(так как OE\parallel SA
). По теореме о трёх перпендикулярах OE\perp OB
. В прямоугольном треугольнике BOE
известны катеты OB=\frac{1}{2}BD=\frac{a\sqrt{2}}{2}
и OE=\frac{a}{2}
. Следовательно,
\tg\alpha=\tg\angle BEO=\frac{BO}{OE}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\frac{a}{2}}=\sqrt{2}.
Источник: Смирнов В. А. ЕГЭ 2010. Математика. Задача C2. Геометрия. Стереометрия / Под. ред. А. Л. Семёнова, И. В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2010. — № 2, с. 49