7364. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF
с основанием ABCDEF
найдите синус угла между прямой AB
и плоскостью SBC
, если известно, что стороны основания равны 1, а боковые рёбра равны 2.
Ответ. \frac{\sqrt{15}}{5}
.
Решение. Пусть O
— центр основания ABCDEF
. Прямая OC
параллельна прямой AB
, поэтому угол \alpha
между прямой AB
и плоскостью SBC
равен углу между OC
и этой плоскостью.
Опустим перпендикуляр OH
из точки O
на апофему SM
пирамиды, лежащую в плоскости SBC
. Прямая BC
перпендикулярна двум пересекающимся прямым OM
и SM
плоскости SOM
, содержащей прямую OH
, значит, BC\perp OH
. Таким образом, прямая OH
перпендикулярна двум пересекающимся прямым BC
и SM
плоскости SBC
. Следовательно, OH
— перпендикуляр к плоскости SBC
, а CH
— ортогональная проекция наклонной OC
к этой плоскости. Значит, угол между прямой OC
и плоскостью SBC
— это угол OCH
.
В прямоугольном треугольнике OMS
известно, что
OM=BM\tg60^{\circ}=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2},~SO=\sqrt{SB^{2}-OB^{2}}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3},
SM=\sqrt{SB^{2}-BM^{2}}=\sqrt{4-\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{15}}{2}.
Записав двумя способами площадь треугольника SOM
, получим, что \frac{1}{2}OM\cdot SO=\frac{1}{2}SM\cdot OH
, откуда
OH=\frac{OM\cdot SO}{SM}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{15}}{2}}=\frac{3}{\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{15}}{5}.
Следовательно,
\sin\alpha=\sin\angle OCH=\frac{OH}{OA}=\frac{\frac{\sqrt{15}}{5}}{1}=\frac{\sqrt{15}}{5}.
