7374. В правильной треугольной призме ABCA_{1}B_{1}C_{1}
, все рёбра которой равны, найдите косинус угла между прямыми AB
и CA_{1}
.
Ответ. \frac{\sqrt{2}}{4}
Решение. Пусть все рёбра призмы равны a
. Поскольку A_{1}B_{1}\parallel AB
, угол между скрещивающимися прямыми AB
и CA_{1}
равен углу между пересекающимися прямыми A_{1}B_{1}
и CA_{1}
, т. е. углу CA_{1}B_{1}
при основании равнобедренного треугольника CA_{1}B_{1}
.
Пусть H
— середина ребра A_{1}B_{1}
. Тогда CH
— высота треугольника CA_{1}B_{1}
со сторонами CA_{1}=CB_{1}=a\sqrt{2}
, A_{1}B_{1}=a
. Следовательно,
\cos\angle CA_{1}B_{1}=\frac{A_{1}H}{CA_{1}}=\frac{\frac{a}{2}}{a\sqrt{2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}.
Источник: Смирнов В. А. ЕГЭ 2010. Математика. Задача C2. Геометрия. Стереометрия / Под. ред. А. Л. Семёнова, И. В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2010. — № 3, с. 14