7375. В правильной треугольной призме ABCA_{1}B_{1}C_{1}
, все рёбра которой равны, найдите тангенс угла между прямой BB_{1}
и плоскостью AB_{1}C_{1}
.
Ответ. \frac{\sqrt{3}}{2}
Решение. Пусть все рёбра призмы равны a
, точки M
и M_{1}
— середины рёбер BC
и B_{1}C_{1}
соответственно. Поскольку MM_{1}\parallel BB_{1}
, угол между прямой BB_{1}
и плоскостью AB_{1}C_{1}
равен углу между прямой MM_{1}
и этой плоскостью. Докажем, что это угол MM_{1}A
.
Действительно, пусть H
— основание перпендикуляра, опущенного из точки M
на медиану AM_{1}
равнобедренного треугольника AB_{1}C_{1}
. Прямая B_{1}C_{1}
перпендикулярна плоскости AMM_{1}
, содержащей прямую MH
, так как B_{1}C_{1}\perp AM
и B_{1}C_{1}\perp MM_{1}
. Значит, прямая MH
перпендикулярна двум пересекающимся прямым AM_{1}
и B_{1}C_{1}
плоскости AB_{1}C_{1}
, поэтому MH
— перпендикуляр к плоскости AB_{1}C_{1}
. Следовательно, HM_{1}
— ортогональная проекция наклонной MM_{1}
на плоскость AB_{1}C_{1}
, а MM_{1}A
— угол между MM_{1}
и этой плоскостью. Что и требовалось доказать.
Высота AM
равностороннего треугольника ABC
со стороной a
равна \frac{a\sqrt{3}}{2}
. Из прямоугольного треугольника AMM_{1}
находим, что
\tg\angle MM_{1}A=\frac{AM}{MM_{1}}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}.
