7382. В кубе
ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
найдите синус угла между прямой
A_{1}D_{1}
и плоскостью
ACB_{1}
.
Ответ.
\frac{\sqrt{3}}{3}
.
Указание. Диагональ
BD_{1}
куба
ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
перпендикулярна плоскости
ACB_{1}
и делится ею в отношении
1:2
, считая от точки
B
.
Решение. Поскольку
A_{1}D_{1}\parallel BC
, угол между прямой
A_{1}D_{1}
и плоскостью
ACB_{1}
равен углу между прямой
BC
и плоскостью
ACB_{1}
.
По теореме о трёх перпендикулярах прямая
BD_{1}
перпендикулярна прямой
AC
, так как ортогональная проекция
BD
наклонной
BD_{1}
на плоскость
ABCD
перпендикулярна прямой
AC
, лежащей в этой плоскости. Аналогично
BD_{1}\perp AB_{1}
. Поскольку прямая
BD_{1}
перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости
ACB_{1}
, эта прямая перпендикулярна плоскости
ACB_{1}
.
Пусть
O
центр грани
ABCD
. Рассмотрим прямоугольник
BB_{1}D_{1}D
. Точка
O
— середина его стороны
BD
, а точка
M
пересечения
BD_{1}
и
OB_{1}
— это точка пересечения диагонали
BD_{1}
с плоскостью
ACB_{1}
. Из подобия треугольников
B_{1}MD_{1}
и
OMB
следует, что
\frac{BM}{MD_{1}}=\frac{OB}{B_{1}D_{1}}=1:2
.
Таким образом,
BM
— перпендикуляр к плоскости
ACB_{1}
, причём, если ребро куба равно
a
, то
BM=\frac{1}{3}BD_{1}=\frac{1}{3}a\sqrt{3}
, а
CM
— ортогональная проекция наклонной
BC
на эту плоскость. Поэтому
BCM
— искомый угол прямой
BC
(а значит, и
A_{1}D_{1}
) с плоскостью
ACB_{1}
.
Из прямоугольного треугольника
BMC
находим, что
\sin\angle BCM=\frac{BM}{BC}=\frac{\frac{1}{3}a\sqrt{3}}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}.