7383. В кубе ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
найдите синус угла между прямой DD_{1}
и плоскостью ACB_{1}
.
Ответ. \frac{\sqrt{3}}{3}
.
Указание. Диагональ BD_{1}
куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
перпендикулярна плоскости ACB_{1}
и делится ею в отношении 1:2
, считая от точки B
.
Решение. Поскольку DD_{1}\parallel BB_{1}
, угол между прямой DD_{1}
и плоскостью ACB_{1}
равен углу между прямой BB_{1}
и плоскостью ACB_{1}
.
По теореме о трёх перпендикулярах прямая BD_{1}
перпендикулярна прямой AC
, так как ортогональная проекция BD
наклонной BD_{1}
на плоскость ABCD
перпендикулярна прямой AC
, лежащей в этой плоскости. Аналогично BD_{1}\perp AB_{1}
. Поскольку прямая BD_{1}
перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости ACB_{1}
, эта прямая перпендикулярна плоскости ACB_{1}
.
Пусть O
центр грани ABCD
. Рассмотрим прямоугольник BB_{1}D_{1}D
. Точка O
— середина его стороны BD
, а точка M
пересечения BD_{1}
и OB_{1}
— это точка пересечения диагонали BD_{1}
с плоскостью ACB_{1}
. Из подобия треугольников OMB
и B_{1}MD_{1}
следует, что \frac{BM}{MD_{1}}=\frac{OB}{B_{1}D_{1}}=1:2
.
Таким образом, BM
— перпендикуляр к плоскости ACB_{1}
, причём, если ребро куба равно a
, то BM=\frac{1}{3}BD_{1}=\frac{1}{3}a\sqrt{3}
, а CM
— ортогональная проекция наклонной BB_{1}
на эту плоскость. Поэтому BB_{1}M
— искомый угол прямой BB_{1}
(а значит, и DD_{1}
) с плоскостью ACB_{1}
.
Из прямоугольного треугольника BB_{1}M
находим, что
\sin\angle BB_{1}M=\frac{BM}{BB_{1}}=\frac{\frac{1}{3}a\sqrt{3}}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}.
Источник: Смирнов В. А. ЕГЭ 2010. Математика. Задача C2. Геометрия. Стереометрия / Под. ред. А. Л. Семёнова, И. В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2010. — № 4, с. 50