7390. В правильной четырёхугольной призме ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
со стороной основания 4 и высотой 7 на ребре AA_{1}
взята точка M
так, что AM=2
. На ребре BB_{1}
взята точка K
так, что B_{1}K=2
. Найдите угол между плоскостью D_{1}MK
и плоскостью CC_{1}D_{1}
.
Ответ. 45^{\circ}
.
Решение. Плоскость CC_{1}D_{1}
параллельна плоскости AA_{1}B_{1}
, поэтому угол между плоскостями D_{1}MK
и CC_{1}D_{1}
равен углу между плоскостями D_{1}MK
и AA_{1}B_{1}
.
Пусть H
— основание перпендикуляра, опущенного из точки A_{1}
на прямую MK
пересечения плоскостей D_{1}MK
и AA_{1}B_{1}
. Поскольку D_{1}A_{1}
— перпендикуляр к плоскости AA_{1}B_{1}
, отрезок A_{1}H
— ортогональная проекция наклонной D_{1}H
на плоскость AA_{1}B_{1}
. По теореме о трёх перпендикулярах D_{1}H\perp MK
, значит, линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями D_{1}MK
и AA_{1}B_{1}
, — это угол A_{1}HD_{1}
.
Пусть P
— основание перпендикуляра, опущенного из точки K
на ребро AA_{1}
. Тогда
A_{1}M=7-2=5,~KP=A_{1}B_{1}=4,~MP=A_{1}M-A_{1}P=A_{1}M-B_{1}K=5-2=3.
Из прямоугольного треугольника MPK
находим, что
MK=\sqrt{MP^{2}+KP^{2}}=\sqrt{9+16}=5.
Прямоугольные треугольники MHA_{1}
и MPK
равны по гипотенузе и острому углу, поэтому A_{1}H=KP=4
, а так как A_{1}D_{1}=4
, то прямоугольный треугольник A_{1}HD_{1}
— равнобедренный. Следовательно, \angle A_{1}HD_{1}=45^{\circ}
.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2012, задача C2
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 3.16, с. 29