7391. В правильной треугольной призме ABCA_{1}B_{1}C_{1}
, все рёбра которой равны, найдите тангенс угла между плоскостями ABC
и CA_{1}B_{1}
.
Ответ. \frac{2\sqrt{3}}{3}
.
Решение. Пусть все рёбра призмы равны a
. Поскольку плоскость ABC
параллельна плоскости A_{1}B_{1}C_{1}
, угол между плоскостями ABC
и CA_{1}B_{1}
равен углу между плоскостями A_{1}B_{1}C_{1}
и CA_{1}B_{1}
.
Пусть M
— середина ребра A_{1}B_{1}
. Тогда C_{1}M\perp A_{1}B_{1}
и CM\perp A_{1}B_{1}
, значит, линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями A_{1}B_{1}C_{1}
и CA_{1}B_{1}
, — это угол CMC_{1}
. Из прямоугольного треугольника CC_{1}M
находим, что
\tg\angle CMC_{1}=\frac{CC_{1}}{CM}=\frac{a}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}.
Источник: Смирнов В. А. ЕГЭ 2010. Математика. Задача C2. Геометрия. Стереометрия / Под. ред. А. Л. Семёнова, И. В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2010. — № 3, с. 24