7393. Угол между боковой гранью и плоскостью основания правильной четырёхугольной пирамиды равен 60^{\circ}
. Найдите угол между противоположными боковыми гранями.
Ответ. 60^{\circ}
.
Решение. Пусть ABCD
— основание правильной четырёхугольной пирамиды SABCD
, M
и N
— середины рёбер AD
и BC
соответственно. Тогда SMN
— линейный угол двугранного угла между боковой гранью SAD
и плоскостью основания. По условию задачи \angle SMN=60^{\circ}
.
Поскольку пересекающиеся плоскости SAD
и SBC
проходят через параллельные прямые AD
и BC
, эти плоскости пересекаются по прямой l
, параллельной прямым AD
и BC
, а так как SM\perp AD
и SN\perp BC
, то SM\perp l
и SN\perp l
. Следовательно, линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями SAD
и SBC
, — это угол MSN
.
В равнобедренном треугольник MSN
один из углов равен 60^{\circ}
, поэтому треугольник MSN
— равносторонний. Следовательно, \angle MSN=60^{\circ}
.