7394. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD
, все рёбра которой равны, найдите косинус угла между плоскостями SBC
и SCD
.
Ответ. \frac{1}{3}
.
Решение. Пусть все рёбра пирамиды равны a
, K
— середина ребра SC
. Отрезки BK
и DK
— медианы, а значит, и высоты равносторонних треугольников SBC
и SDC
, поэтому линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями SBC
и SDC
, — это угол BKD
.
По теореме косинусов из равнобедренного треугольника BKD
со сторонами BK=DK=\frac{a\sqrt{3}}{2}
и BD=a\sqrt{2}
находим, что
\cos\angle BKD=\frac{BK^{2}+DK^{2}-BD^{2}}{2BK\cdot DK}=\frac{\frac{3a^{2}}{4}+\frac{3a^{2}}{4}-2a^{2}}{2\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}}=-\frac{1}{3},
а так как угол между плоскостями не может быть больше 180^{\circ}
, то косинус искомого угла равен \frac{1}{3}
.