7397. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD
, все рёбра которой равны, найдите косинус угла между плоскостями ABC
и SCD
.
Ответ. \frac{\sqrt{3}}{3}
.
Решение. Пусть все рёбра пирамиды равны a
, O
— центр основания ABCD
, M
— середина ребра CD
. Прямая CD
пересечения плоскостей ABC
и SCD
перпендикулярна прямым SM
и OM
, лежащим в гранях двугранного угла, образованного этими плоскостями. Следовательно, OMS
— линейный угол этого двугранного угла.
Из прямоугольного треугольника OMS
находим, что
\cos\angle OMS=\frac{OM}{SM}=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}.
Источник: Смирнов В. А. ЕГЭ 2010. Математика. Задача C2. Геометрия. Стереометрия / Под. ред. А. Л. Семёнова, И. В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2010. — № 7, с. 45
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 3(б), с. 26