7398. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD
, все рёбра которой равны, найдите угол между плоскостями ABC
и BDE
, где E
— середина ребра SC
.
Ответ. 45^{\circ}
.
Решение. Пусть все рёбра пирамиды равны a
, O
— центр основания ABCD
. Прямая BD
пересечения плоскостей ABC
и BDE
перпендикулярна прямым OC
и OE
, лежащим в гранях двугранного угла, образованного этими плоскостями. Следовательно, COE
— линейный угол этого двугранного угла.
В прямоугольном треугольнике SOC
известно, что
SC=a,~OC=\frac{1}{2}AC=\frac{a\sqrt{2}}{2},~SO=\sqrt{SC^{2}-OC^{2}}=\sqrt{a^{2}-\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.
Отрезок OE
— медиана, а значит, высота равнобедренного прямоугольного треугольника SOB
, поэтому
OE\perp SC,~OE=\frac{1}{2}SC=\frac{1}{2}a=EC.
Из равнобедренного прямоугольного треугольника OEC
находим, что \angle COE=45^{\circ}
.