7401. В правильной треугольной призме ABCA_{1}B_{1}C_{1}
, все рёбра которой равны 1, найдите расстояние от точки A
до прямой CB_{1}
.
Ответ. \frac{\sqrt{14}}{4}
.
Решение. Пусть M
— середина ребра AC
, H
— основание перпендикуляра, опущенного из точки A
на прямую CB_{1}
. Искомое расстояние равно высоте AH
равнобедренного треугольника ACB_{1}
со сторонами AB_{1}=CB_{1}=\sqrt{2}
, AC=1
.
Из прямоугольного треугольника MBB_{1}
находим, что
B_{1}M=\sqrt{BB_{1}^{2}+BM^{2}}=\sqrt{1+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{7}}{2}.
Записав двумя способами площадь равнобедренного треугольника ACB_{1}
, получим равенство \frac{1}{2}CB_{1}\cdot AH=\frac{1}{2}AC\cdot B_{1}M
, откуда
AH=\frac{AC\cdot B_{1}M}{CB_{1}}=\frac{1\cdot\frac{\sqrt{7}}{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{14}}{4}.