7402. Основание пирамиды ABCD
— треугольник ABC
со сторонами AC=6
, BC=8
, AB=10
. Все боковые рёбра равны 5\sqrt{2}
. Найдите
а) радиус сферы, описанной около пирамиды ABCD
;
б) расстояние между прямыми DM
и AC
и расстояние прямыми DM
и BC
, где DM
— высота пирамиды ABCD
.
Ответ. а) 5; б) 4 и 3.
Указание. Если боковые рёбра пирамиды равны, то её высота проходит через центр окружности, описанной около основания.
Решение. а) Поскольку боковые рёбра пирамиды равны, её высота DM
проходит через центр M
окружности, описанной около основания, а так как основание ABC
— прямоугольный треугольник (AC^{2}+BC^{2}=36+64=100=AB^{2}
), то точка M
— середина его гипотенузы AB
, а радиус этой окружности равен половине гипотенузы, т. е. 5.
Из прямоугольного треугольника DMB
находим, что
MD=\sqrt{DB^{2}-MB^{2}}=\sqrt{50-25}=5,
значит, MA=MB=MC=MD=5
. Следовательно, M
— центр сферы, описанной около пирамиды ABCD
, а радиус этой сферы равен 5.
б) Пусть K
— середина AC
. Тогда MK
— средняя линия треугольника ABC
, поэтому MK\perp AC
. С другой стороны, MK\perp DM
, так как прямая DM
перпендикулярна плоскости ABC
, в которой лежит прямая MK
. Значит, MK
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых DM
и AC
, причём MK=\frac{1}{2}BC=4
. Аналогично находим, что расстояние между прямыми DM
и BC
равно 3.