7406. Основание пирамиды — квадрат со стороной a
, высота пирамиды проходит через середину одной из сторон основания и равна \frac{a\sqrt{3}}{2}
. Найдите радиус описанной сферы.
Ответ. \frac{a\sqrt{21}}{6}
.
Указание. Пусть PABCD
— четырёхугольная пирамида, основание которой — квадрат ABCD
со стороной a
, а высота проходит через середину ребра AB
. Центр сферы лежит на пересечении перпендикуляра к плоскости основания пирамиды, проходящего через центр квадрата, с перпендикуляром к плоскости APB
, проходящим через центр описанной окружности равностороннего треугольника APB
.
Решение. Пусть PABCD
— четырёхугольная пирамида, основание которой — квадрат ABCD
со стороной a
, а высота PM
проходит через середину M
ребра AB
; PM=\frac{a\sqrt{3}}{2}
; Q
— центр квадрата ABCD
; O
— центр описанной сферы, R
— радиус этой сферы.
Точка O
равноудалена от вершин квадрата ABCD
, значит, она лежит на перпендикуляре к плоскости основания пирамиды, проходящем через центр Q
квадрата. С другой стороны, точка O
равноудалена от вершин треугольника APB
, значит, она лежит на перпендикуляре к плоскости APB
, проходящем через центр O_{1}
описанной окружности треугольника APB
.
Пусть r
— радиус этой окружности. Поскольку
\tg\angle PAB=\frac{PM}{AM}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a}{2}}=\sqrt{3},
\angle PBA=\angle PAB=60^{\circ}
, значит, треугольник APB
— равносторонний, поэтому
r=O_{1}P=\frac{a\sqrt{3}}{3},~O_{1}M=\frac{a\sqrt{3}}{6}.
Прямые OQ
и PM
параллельны, так как они перпендикулярны одной и той же плоскости. Аналогично, OO_{1}\parallel QM
. Значит,
OQ=O_{1}M=\frac{a\sqrt{3}}{6}.
Из прямоугольного треугольника AQO
находим, что
R=OA=\sqrt{AQ^{2}+OQ^{2}}=\sqrt{\frac{a^{2}}{2}+\frac{a^{2}}{12}}=\frac{a\sqrt{21}}{6}.