7407. Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами a
и 2a
. Высота пирамиды проходит через середину меньшей стороны основания и равна a
. Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды.
Ответ. \frac{a\sqrt{89}}{8}
.
Указание. Пусть PABCD
— четырёхугольная пирамида, основание которой — прямоугольник ABCD
со сторонами AB=a
и AD=2a
, а высота проходит через середину ребра AB
. Центр сферы лежит на пересечении перпендикуляра к плоскости основания пирамиды, проходящего через центр прямоугольника, с перпендикуляром к плоскости APB
, проходящим через центр описанной окружности равнобедренного треугольника APB
.
Решение. Пусть PABCD
— четырёхугольная пирамида, основание которой — прямоугольник ABCD
со сторонами AB=a
и AD=2a
, а высота PM
проходит через середину M
ребра AB
; PM=a
, Q
— центр прямоугольника ABCD
, O
— центр описанной сферы, R
— её радиус.
Точка O
равноудалена от вершин прямоугольника ABCD
, значит, она лежит на перпендикуляре к плоскости основания пирамиды, проходящем через центр Q
прямоугольника. С другой стороны, точка O
равноудалена от вершин треугольника APB
, значит, она лежит на перпендикуляре к плоскости APB
, проходящем через центр O_{1}
описанной окружности треугольника APB
.
Пусть r
— радиус этой окружности. В треугольнике APB
известно, что
\tg\angle PAB=\frac{PM}{AM}=2,~\cos\angle PAB=\frac{1}{\sqrt{5}},~\sin\angle PAB=\frac{2}{\sqrt{5}},~BP=\frac{a\sqrt{5}}{2},
значит,
O_{1}M=PM-r=PM-\frac{PB}{2\sin\angle PAB}=
=a-\frac{\frac{a\sqrt{5}}{2}}{2\cdot\frac{2}{\sqrt{5}}}=a-\frac{5a}{8}=\frac{3a}{8}.
Прямые OQ
и PM
параллельны, так как они перпендикулярны одной и той же плоскости. Аналогично, OO_{1}\parallel QM
. Значит,
OQ=O_{1}M=\frac{3a}{8},
а так как
AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=a\sqrt{5},~AQ=\frac{1}{2}AC=\frac{a\sqrt{5}}{2},
то из прямоугольного треугольника AQO
находим, что
R=OA=\sqrt{AQ^{2}+OQ^{2}}=\sqrt{\frac{5a^{2}}{4}+\frac{9a^{2}}{64}}=\frac{a\sqrt{89}}{8}.