7408. Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с гипотенузой a
и острым углом 30^{\circ}
. Высота пирамиды проходит через середину наименьшей из сторон основания и равна a
. Найдите радиус описанной сферы.
Ответ. \frac{a\sqrt{481}}{32}
.
Указание. Пусть PABC
— треугольная пирамида, основание которой — прямоугольный треугольник ABC
с гипотенузой AB=a
и углом при вершине A
, равным 30^{\circ}
, а высота PM
проходит через середину M
ребра BC=\frac{1}{2}a
; PM=a
, Q
— центр описанной окружности треугольника ABC
(середина гипотенузы AB
).
Точка O
лежит на пересечении перпендикуляра к плоскости основания пирамиды, проходящего через середину гипотенузы AB
, с перпендикуляром к плоскости BPC
, проходящим через центр описанной окружности треугольника BPC
.
Решение. Пусть PABC
— треугольная пирамида, основание которой — прямоугольный треугольник ABC
с гипотенузой AB=a
и углом при вершине A
, равным 30^{\circ}
, а высота PM
проходит через середину M
ребра BC=\frac{1}{2}a
; PM=a
, Q
— центр описанной окружности треугольника ABC
(середина гипотенузы AB
), O
— центр описанной сферы, R
— радиус этой сферы.
Точка O
равноудалена от вершин треугольника ABC
, значит, она лежит на перпендикуляре к плоскости основания пирамиды, проходящем через середину Q
гипотенузы AB
. С другой стороны, точка O
равноудалена от вершин треугольника BPC
, значит, она лежит на перпендикуляре к плоскости BPC
, проходящем через центр O_{1}
описанной окружности треугольника BPC
.
Пусть r
— радиус этой окружности. В треугольнике BPC
известно, что
\tg\angle PBC=\frac{PM}{BM}=4,~\cos\angle PBC=\frac{1}{\sqrt{17}},~\sin\angle PBC=\frac{4}{\sqrt{17}},~PC=\frac{a\sqrt{17}}{4},
значит,
O_{1}M=PM-r=PM-\frac{PC}{2\sin\angle PBC}=a-\frac{\frac{a\sqrt{17}}{4}}{2\cdot\frac{4}{\sqrt{17}}}=a-\frac{17a}{32}=\frac{15a}{32}.
Прямые OQ
и PM
параллельны, так как они перпендикулярны одной и той же плоскости. Аналогично, OO_{1}\parallel QM
. Поэтому
OQ=O_{1}M=\frac{15a}{32},
а так как
AQ=\frac{1}{2}AB=\frac{a}{2},
то из прямоугольного треугольника AQO
находим, что
R=OA=\sqrt{AQ^{2}+OQ^{2}}=\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{225a^{2}}{1024}}=\frac{a\sqrt{481}}{32}.