7410. Высота PO
правильной четырёхугольной пирамиды PABCD
равна 4, а стороны основания ABCD
равны 6. Точки M
и N
— середины отрезков BC
и CD
. Найдите радиус сферы, вписанной в пирамиду PMNC
.
Ответ. \frac{12}{13+\sqrt{41}}
.
Указание. Найдите объём и полную поверхность пирамиды PMKC
.
Решение. MK
— средняя линия треугольника BCD
, поэтому
S_{\triangle CMK}=\frac{1}{4}S_{\triangle BCD}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}S_{ABCD}=\frac{1}{8}\cdot36=\frac{9}{2},
V_{PMKC}=\frac{1}{8}V_{PABCD}=\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot PO=\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{3}\cdot36\cdot4=6.
Пусть N
— точка пересечения AC
и MK
. Тогда ON\perp MK
, а по теореме о трёх перпендикулярах PN\perp MK
, т. е. PN
— высота треугольника PMK
. По теореме Пифагора находим, что
PN=\sqrt{PO^{2}+ON^{2}}=\sqrt{PO^{2}+\left(\frac{1}{4}AC\right)^{2}}=
=\sqrt{16+\left(\frac{6\sqrt{2}}{4}\right)^{2}}=\sqrt{16+\frac{9}{2}}=\sqrt{\frac{41}{2}},
PK=\sqrt{PO^{2}+OK^{2}}=\sqrt{16+9}=5.
Пусть S
— полная поверхность пирамиды PMKC
, r
— искомый радиус. Тогда
S=2S_{\triangle PKC}+S_{\triangle PMK}+S_{\triangle CMK}=2\cdot\frac{1}{2}CK\cdot PK+\frac{1}{2}MK\cdot PN+\frac{9}{2}=
=15+\frac{1}{2}\cdot3\sqrt{2}\cdot\sqrt{\frac{41}{2}}+\frac{9}{2}=\frac{1}{2}(39+3\sqrt{41}).
Следовательно,
r=\frac{3V_{PMKC}}{S}=\frac{3\cdot6}{\frac{1}{2}(39+3\sqrt{41})}=
=\frac{36}{39+3\sqrt{41}}=\frac{12}{13+\sqrt{41}}.