7414. В треугольной пирамиде PABC
боковое ребро PB
перпендикулярно плоскости основания ABC
и равно 12, AB=BC=7
, AC=4
. Сфера, центр O
которой лежит на ребре AB
, касается плоскостей граней PAC
и PBC
. Найдите расстояние от центра O
до ребра PB
.
Ответ. \frac{7\sqrt{7}}{\sqrt{3}+\sqrt{7}}
.
Указание. Найдите угол между гранями ABC
и APC
. Соединив центр O
сферы с вершинами P
и C
пирамиды PABC
, разбейте пирамиду PABC
на две треугольные пирамиды с общей вершиной O
и основаниями APC
и BPC
. Высота каждой из них, проведённая из вершины O
, равна радиусу сферы.
Решение. Пусть M
— середина AC
. Тогда BM\perp AC
и PM\perp AC
, поэтому BMP
— линейный угол двугранного угла между гранями ABC
и APC
. Обозначим \angle BMP=\alpha
. Из прямоугольного треугольника AMB
находим, что
BM=\sqrt{AB^{2}-AM^{2}}=\sqrt{49-4}=\sqrt{45}=3\sqrt{5},
поэтому
\tg\alpha=\frac{BP}{BM}=\frac{12}{3\sqrt{5}}=\frac{4}{\sqrt{5}},~\cos\alpha=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{21}},~\sin\alpha=\frac{4}{\sqrt{21}},
PM=\frac{BM}{\cos\alpha}=3\sqrt{5}\cdot\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{5}}=3\sqrt{21}.
Соединив центр O
сферы с вершинами P
и C
пирамиды PABC
, разобьём пирамиду PABC
на две треугольные пирамиды с общей вершиной O
и основаниями APC
и BPC
. Высота каждой из них, проведённая из вершины O
, равна радиусу r
сферы. Поэтому
V_{PABC}=\frac{1}{3}S_{\triangle APC}\cdot r+\frac{1}{3}S_{\triangle BPC}\cdot r=\frac{1}{3}r(S_{\triangle APC}+S_{\triangle BPC}),
откуда
r=\frac{3V_{PABC}}{S_{\triangle APC}+S_{\triangle BPC}}=\frac{3\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}AC\cdot BM\cdot BP}{\frac{1}{2}AC\cdot PM+\frac{1}{2}BC\cdot BP}=\frac{\frac{1}{2}\cdot4\cdot3\sqrt{5}\cdot12}{\frac{1}{2}\cdot4\cdot3\sqrt{21}+\frac{1}{2}\cdot7\cdot12}=\frac{12\sqrt{5}}{\sqrt{21}+7}.
Пусть сфера касается плоскости APC
в точке F
, а K
— основание перпендикуляра, опущенного из центра O
на ребро AC
. По теореме о трёх перпендикулярах FK\perp AC
, а так как \angle OKF=\alpha
, то
OK=\frac{OF}{\sin\angle OKF}=\frac{r}{\sin\alpha}=\frac{\frac{12\sqrt{5}}{\sqrt{21}+7}}{\frac{4}{\sqrt{21}}}=\frac{3\sqrt{15}}{\sqrt{3}+\sqrt{7}}.
Из подобия треугольников AKO
и AMB
находим, что
OA=AB\cdot\frac{OK}{BM}=7\cdot\frac{\frac{3\sqrt{15}}{\sqrt{3}+\sqrt{7}}}{3\sqrt{5}}=\frac{7\sqrt{3}}{\sqrt{3}+\sqrt{7}}.
Следовательно,
OB=AB-OA=7-\frac{7\sqrt{3}}{\sqrt{3}+\sqrt{7}}=\frac{7\sqrt{7}}{\sqrt{3}+\sqrt{7}}.