7415. Ребро куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
равно a
. Точки M
и N
лежат на отрезках BD
и CC_{1}
соответственно. Прямая MN
образует угол 45^{\circ}
с плоскостью ABCD
и угол 30^{\circ}
с плоскостью BB_{1}C_{1}C
. Найдите:
а) отрезок MN
;
б) радиус шара с центром на отрезке MN
, касающегося плоскостей ABCD
и BB_{1}C_{1}C
.
Ответ. а) a
; б) \frac{a(2-\sqrt{2})}{2}
.
Решение. Пусть K
— ортогональная проекция точки M
на ребро BC
куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Обозначим MK=x
. Из прямоугольных треугольников MKN
, MCN
и MKC
находим, что
MN=2MK=2x,~CM=CN=x\sqrt{2},~CK=MK=x.
Поэтому \angle MCK=45^{\circ}
. Значит, M
— точка пересечения диагоналей квадрата ABCD
. Тогда x=MK=\frac{a}{2}
. Следовательно, MN=2x=a
.
Пусть P
и Q
— точки касания шара с плоскостями ABCD
и BB_{1}C_{1}C
соответственно, F
— ортогональная проекция точки P
на ребро BC
, r
— радиус шара. Тогда
PF=OQ=r,~CP=PF\sqrt{2}=r\sqrt{2},~PM=CM-CP=\frac{a\sqrt{2}}{2}-r\sqrt{2},
а так как \angle OPM=45^{\circ}
, то OP=PM
, или r=\frac{a\sqrt{2}}{2}-r\sqrt{2}
, откуда находим, что r=\frac{a(2-\sqrt{2})}{2}
.