7418. Плоскость прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4, образует с плоскостью P
угол \alpha
. Гипотенуза треугольника лежит в плоскости P
. Найдите угол между меньшим катетом и плоскостью P
.
Ответ. \arcsin\left(\frac{4}{5}\sin\alpha\right)
.
Указание. Пусть гипотенуза AB
прямоугольного треугольника ABC
лежит в плоскости P
, H
— ортогональная проекция вершины C
на плоскость P
, HM
— перпендикуляр, опущенный из точки H
на AB
. Тогда \angle CMH=\alpha
.
Решение. Пусть гипотенуза AB
прямоугольного треугольника ABC
лежит в плоскости P
, причём AC=4
, BC=3
; H
— ортогональная проекция вершины C
на плоскость P
, HM
— перпендикуляр, опущенный из точки H
на AB
. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах CM\perp AB
, поэтому CMH
— линейный угол двугранного угла между плоскостью треугольника ABC
и плоскостью P
. Далее находим:
AB=\sqrt{AC^{2}+AB^{2}}=5,~CM=\frac{AC\cdot BC}{AB}=\frac{12}{5},
CH=CM\cdot\sin\angle CMH=\frac{12}{5}\sin\alpha.
Следовательно,
\sin\angle CBH=\frac{CH}{BC}=\frac{\frac{12}{5}\sin\alpha}{3}=\frac{4}{5}\sin\alpha.
Источник: Вступительный экзамен на факультет почвоведения МГУ. — 1978, вариант 1, № 4
Источник: Нестеренко Ю. В., Олехник С. Н., Потапов М. К. Задачи вступительных экзаменов по математике. — М.: Наука, 1986. — с. 60