7421. Дан куб с ребром 1. Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки до его вершин не меньше 4\sqrt{3}
.
Указание. Если AC_{1}
— диагональ куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, то для любой точки M
верно неравенство MA+MC_{1}\geqslant\sqrt{3}
.
Решение. Пусть ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
(AA_{1}\parallel BB_{1}\parallel CC_{1}\parallel DD_{1}
) — куб с ребром 1, M
— произвольная точка пространства. Тогда диагонали AC_{1}
, BD_{1}
, CA_{1}
и DB_{1}
куба равны \sqrt{3}
. Поэтому
MA+MC_{1}\geqslant\sqrt{3},~MB+MD_{1}\geqslant\sqrt{3},~MC+MA_{1}\geqslant\sqrt{3},~MD+MB_{1}\geqslant\sqrt{3}.
Сложив почленно эти неравенства, получим, что
MA+MC_{1}+MB+MD_{1}+MC+MA_{1}+MD+MB_{1}\geqslant4\sqrt{3}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Прасолов В. В., Шарыгин И. Ф. Задачи по стереометрии. — М.: Наука, 1989. — № 10.2, с. 190
Источник: Прасолов В. В. Задачи по стереометрии. — 2-е изд. — М.: МЦНМО, 2016. — № 15.3, с. 240