7422. Пусть a
, b
и c
— длины рёбер параллелепипеда, d
— длина одной из его диагоналей. Докажите, что a^{2}+b^{2}+c^{2}\geqslant\frac{1}{3}d^{2}
.
Указание. Воспользуйтесь неравенствами
a^{2}+b^{2}\geqslant2ab,~a^{2}+c^{2}\geqslant2ac,~b^{2}+c^{2}\geqslant2bc,~d\leqslant a+b+c.
Решение. Из очевидных неравенств
(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\geqslant0,~(a-c)^{2}=a^{2}-2ac+c^{2}\geqslant0,~(b-c)^{2}=b^{2}-2bc+c^{2}\geqslant0
следуют неравенства
a^{2}+b^{2}\geqslant2ab,~a^{2}+c^{2}\geqslant2ac,~b^{2}+c^{2}\geqslant2bc,
а так как d\leqslant a+b+c
, то
d^{2}\leqslant(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc\leqslant
\leqslant a^{2}+b^{2}+c^{2}+(a^{2}+b^{2})+(a^{2}+c^{2})+(b^{2}+c^{2})=
=3(a^{2}+b^{2}+c^{2}).
Следовательно,
a^{2}+b^{2}+c^{2}\geqslant\frac{1}{3}d^{2}.