7423. Теорема об общем перпендикуляре скрещивающихся прямых. Докажите, что общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых есть наименьшее из расстояний между точками этих прямых.
Указание. Через одну из данных скрещивающихся прямых проведите плоскость, параллельную другой.
Решение. Пусть точки A
и B
лежат на скрещивающихся прямых a
и b
соответственно, причём AB
— общий перпендикуляр прямых a
и b
. Возьмём на прямой произвольную точку M
, отличную от A
, а на прямой b
— произвольную точку N
. Докажем, что MN\gt AB
.
Через прямую b
проведём плоскость \alpha
, параллельную прямой a
и опустим перпендикуляр MP
на эту плоскость. Тогда MN\gt MP=AB
. Что и требовалось доказать.
Источник: Прасолов В. В., Шарыгин И. Ф. Задачи по стереометрии. — М.: Наука, 1989. — № 11.1, с. 207
Источник: Прасолов В. В. Задачи по стереометрии. — 2-е изд. — М.: МЦНМО, 2016. — № 1.20, с. 11, № 16.1, с. 258